Γράφει ο Βαγγέλης Τσούκας
Οι μαθηματικές εξισώσεις χρησιμεύουν στην εύρεση της τιμής μιας μεταβλητής όταν
είναι γνωστές οι τιμές άλλων μεταβλητών. Για παράδειγμα όταν γνωρίζουμε την
ταχύτητα ενός οχήματος και την απόσταση, μπορούμε να βρούμε πόση
ώρα θα
χρειαστεί για να τη διανύσει. Η πιο σημαντική και ενδιαφέρουσα κατηγορία
εξισώσεων είναι οι διαφορικές που ονομάζονται έτσι γιατί η τιμή της ζητούμενης
μεταβλητής εξαρτάται από τον ρυθμό μεταβολής της, δηλαδή το διαφορικό της. Για
παράδειγμα όσο περισσότερο μεγαλώνει ένα παιδί τόσο μικραίνει ο ρυθμός
ανάπτυξής του.Οι διαφορικές εξισώσεις εξηγούν και επιλύουν την συντριπτική πλειοψηφία του φυσικού και κοινωνικού κόσμου που παρατηρούμε. Η εξάρτηση μιας ποσότητας από τον ρυθμό μεταβολής της απαντάται στα πιο βασικά και θεμελιώδη φαινόμενα του σύμπαντος τα οποία περιγράφονται με τον τρόπο αυτό πλήρως, επακριβώς και "όμορφα". Ενα παράδειγμα είναι η αντίσταση ενός συστήματος στην αλλαγή το οποίο στη φυσική ονομάζεται αδράνεια, στη μηχανική ανάδραση και στη βιολογία ομοιόσταση. Οι νόμοι που καθορίζουν τη δομή του ατομικού πυρήνα (εξίσωση Schrödinger), η ταχύτητα των χημικών και ραδιενεργών αντιδράσεων και όλα τα είδη κύματος (ηλεκτρομαγνητικά όπως φως και μηχανικά όπως ήχος) περιγράφονται από μία διαφορική εξίσωση. Ιδιαίτερη σημασία κατέχουν οι λεγόμενες μερικές διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν περισσότερες από μία άγνωστες μεταβλητές. Για παράδειγμα η περιγραφή της κίνησης των ρευστών όπως το απλό κούνημα ενός νεροπότηρου θεωρείται μέχρι σήμερα ένα από τα βασικά άλυτα προβλήματα της επιστήμης. Κάθε ένα από τα παραπάνω φαινόμενα έχει μία αρχή στο χρόνο οι παραμέτροι της οποίας αποτελούν τις λεγόμενες αρχικές συνθήκες. Στη θεωρία όποιος γνωρίζει τις αρχικές συνθήκες του σύμπαντος και λύσει τις διαφορικές εξισώσεις που το περιγράφουν θα αποκτήσει άπειρη δύναμη.
Η ιστορία των διαφορικών εξισώσεων ξεκίνησε τον 17ο αιώνα με τους μαθηματικούς Leibnitz στην Πρωσσία και Newton στη Βρετανία, στην πραγματικότητα όμως πριν από χιλιάδες χρόνια ο Αρχιμήδης είχε θέσει τις βάσεις του διαφορικού λογισμού όπως ανακαλύφθηκε πρόσφατα μετά από την αποκρυπτογράφηση ενός κειμένου του. Οι διαφορικές εξισώσεις δεν είναι μόνο η όμορφη και ακριβής μέθοδος περιγραφής του κόσμου. Εκφράζουν την ίδια την αλλαγή, τη ροή και την εξέλιξη του σύμπαντος, ένα μέρος της οποίας μπορεί ο άνθρωπος να οδεύσει προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση.
Ένα εξαιρετικό κείμενο που πυροδοτεί τη σκέψη, αλλά με προκαλεί να διαφωνήσω με ένα μόνο σημείο! Οι διαφορικές εξισώσεις δεν μπορούν να περιγράψουν «πλήρως» και «επακριβώς» το φυσικό κόσμο, απλά γιατί δεν περιγράφεται.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ σύγχρονη Φυσική δίνει απαντήσεις στηριζόμενη στην πιθανότητα να συμβεί κάτι, και όχι με τη βεβαιότητα ότι θα συμβεί. Η επίλυση της εξίσωσης του Schrödinger, που ερμηνεύει τη δομή του ατόμου, εκφράζει την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε ένα σημείο του χώρου γύρω από τον πυρήνα και όχι «επακριβώς» τη θέση του. Κάτι αντίστοιχο πρεσβεύει και η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg, σύμφωνα με την οποία , με όσο μεγαλύτερη ακρίβεια προσδιορίζεται η θέση ενός σωματιδίου του μικρόκοσμου, τόσο μεγαλύτερο είναι το σφάλμα, δηλαδή η αβεβαιότητα, στον προσδιορισμό της ταχύτητάς του.
Μάλλον ο Βαγγέλης έχει στο μυαλό του την πιο «τακτοποιημένη» μορφή του σύμπαντος… Ας μην ξεχνάμε όμως ότι στο σύμπαν ισχύει μια παγκόσμια τάση, η τάξη να καταλήγει σε αταξία, και η οργάνωση σε χάος. Αυτό το βαθμό αταξίας τον μετράει η εντροπία. Όλες οι διαδικασίες που συμβαίνουν αυθόρμητα στο σύμπαν οδεύουν προς τη μέγιστη αταξία (π.χ. κατά την εξάτμιση του νερού, τα μόρια κινούνται πιο άτακτα στην αέρια παρά στην υγρή φάση), άρα σε αύξηση της εντροπίας. Η αύξηση της εντροπίας του σύμπαντος χαρακτηρίζεται ως «το βέλος του χρόνου», δείχνει πως ο χρόνος ρέει προς καταστάσεις μεγαλύτερης αταξίας. Πώς να προσδιοριστεί λοιπόν πλήρως και με ακρίβεια η «αταξία»;
Όσο για την κατεύθυνση προς την οποία θα οδεύσει ο άνθρωπος, εξαρτάται από το δικό του «χάος».
Η άποψη ενός χημικού.
Πολύ σωστό σχόλιο. Με το "επακριβώς" εννούσα την πιο κατά το δυνατό πιστή περιγραφή του κόσμου που είναι εφικτή στο πλαίσιο της αρχής της απροσδιοριστίας. Οχι μόνο ο μικρόκοσμος αλλά και όλος ο κόσμος που παρατηρούμε δεν μπορεί να είναι απόλυτα βέβαιος, πχ αν αφήσουμε ελεύθερο ένα αντικείμενο υπάρχει μία έστω απειροελάχιστη πιθανότητα να πάει προς τα πάνω. Με τις εξισώσεις όπως οι διαφορικές επιτυχνάνεται η μικρότερη δυνατή αβεβαιότητα της παρατήρησης η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως η "ρεαλιστική ακρίβεια" που τελικά εννούσα. Οσον αφορά την εντροπία όπου υπάρχουν δύο έννοιες, η μαθηματική και η φυσική, μου δώσατε την ιδέα να αναφερθώ σύντομα.
ΑπάντησηΔιαγραφή