Οι Διαφορικές Εξισώσεις

Γράφει ο Βαγγέλης Τσούκας

Κάθε φαινόμενο που παρατηρούμε γύρω μας περιγράφεται από μια συνάρτηση όπου κάποια ποσότητα όπως απόσταση, ένταση, κόστος κλπ μεταβάλεται σε σχέση με μια άλλη η οποία συνήθως αποτελεί τον χρόνο. Σχετικό μέγεθος αποτελεί ο ρυθμός μεταβολής της αρχικής ποσότητας που εκφράζει την αλλαγή της στη μονάδα του χρόνου και ονομάζεται διαφορικό.

Για παράδειγμα η επιτάχυνση ενός αντικειμένου είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του. Όταν οπουδήποτε μέσα σε μία εξίσωση εμφανίζονται μια ποσότητα και ο ρυθμός μεταβολής της, τότε αυτή λέγεται διαφορική και εκφράζει το γεγονός ότι η συγκεκριμένη ποσότητα επηρρεάζεται από τη μεταβολή της. Για παράδειγμα όσο αυξάνει η ταχύτητα του αυτοκινήτου, τόσο μεγαλώνει η αεροδυναμική αντίσταση που τείνει να τη μειώσει. Λόγω της μεγάλης ποικιλίας των όρων μιας διαφορικής εξίσωσης υπάρχουν πολλές κατηγορίες αυτών όπως συνήθεις και μερικές ή γραμμικές και μη. Στο επίκεντρο βρίσκεται πάντα η λύση της εκάστοτε εξίσωσης η οποία σε λίγες περιπτώσεις είναι γενική και ακριβής, ενώ συνήθως απαιτείται προσέγγιση μέσω αριθμητικών μεθόδων και μετασχηματισμών.

Τα φαινόμενα που υπακούουν σε διαφορικές εξισώσεις είναι αναρίθμητα: δεν υπάρχει επιστημονικός κλάδος, από τη φυσική και τη χημεία μέχρι την ιατρική και την οικονομία, που να μην ασχολείται με την ποιοτική ή ποσοτική προσέγγιση φαινομένων που περιγράφονται από διαφορική εξίσωση. Ιδιαίτερη σημασία κατέχουν οι μερικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού των οποίων η λύση αποτελούν οι αρμονικές συναρτήσεις, δηλαδή τα κύματα. Οι ποιο γνωστές από αυτές είναι η εξίσωση Navier-Stokes που περιγράφει την κίνηση των υγρών και αποτελεί ακόμα άλυτο μαθηματικό πρόβλημα, οι τέσσερις εξισώσεις του Maxwell που περιγράφουν οποιαδήποτε ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση και η εξίσωση Schrodinger που περιγράφει τη δομή του ατόμου στην κβαντική φυσική. Οι εξισώσεις πρώτου βαθμού έχουν ως λύση τη φθίνουσα εκθετική συνάρτηση και περιγράφουν φαινόμενα όπως η αποσβενόμενη ταλάντωση και η ραδιενεργός αποσύνθεση. Επίσης προβλεπτικά σχέδια στην οικονομία και την κοινωνιολογία εφορμόζουν αντίστοιχα συστήματα εξισώσεων.

Οι διαφορικές εξισώσεις συμπυκνώνουν την εξέλιξη κάθε δυναμικού συστήματος, συμπεριλαμβανομένου του ανθρώπου, και εκφράζουν δύο βασικά φαινόμενα: την αυτονομία, δηλαδή την εξάρτηση μόνο από τον εαυτό, και την ανάδραση, δηλαδή την αντίσταση στη μεταβολή, τα οποία οδηγούν στην ισορροπία, αρμονία και ομορφιά που παρατηρούμε. Αντίθετα, οι ολοκληρωτικές εξισώσεις εκφράζουν την ταξική αύξηση και απαντώνται σε επεκτατικά φαινόμενα. Κάθε σύστημα χαρακτηρίζεται από ακραίες καταστάσεις όπου εκκινεί και τερματίζει οι οποίες ονομάζονται οριακές συνθήκες και για τον άνθρωπο αποτελούν τη στιγμή της γέννησης και του θανάτου. Το σύστημα "κινείται" οπουδήποτε ανάμεσα σε αυτές ανάλογα με τους νόμους που το διέπουν οι οποίοι για τον άνθρωπο είναι το μέτρο, η αλήθεια και ο λόγος.